Процессы авторегрессии-скользящего среднего.

Скомбинируем процесс скользящего среднего с линейным разностным уравнением для получения АРСС-модели.

Разглядим разностное уравнение p-го порядка

. (10.6)

Пусть сейчас {xt} будет СС(q)-процесс, представленный формулой (10.5). Тогда мы получаем

, (10.7)

другими словами формулу (9.1), если восстановить (10.7) так, чтоб коэффициент0 всегда был равен единице.

Если все характеристические корешки выражения (10.6) находятся снутри единичного круга (см. условие стойкости Процессы авторегрессии-скользящего среднего. в главе 9), то {yt} именуется АРСС-моделью для процесса yt.

Авторегрессионная часть модели состоит из разностного уравнения с правой частью , а остальная часть уравнения представлена скользящим средним - процессом вида (10.5). Если авторегрессионная часть содержит p-лагов, а скользящее среднее q-лагов (запаздываний), то модель именуется АРСС(p, q Процессы авторегрессии-скользящего среднего.)-моделью.

Если q = 0, то получаем незапятнанное уравнение авторегрессии (AP(q)-модель). И если p = 0, то получаем модель скользящего среднего порядка q (СС(q)-модель). Дальше, в АРСС-моделях можно полагать, что как порядок p, так и q могут быть равны . Если характеристические корешки лежат снутри единичного круга не для самого Процессы авторегрессии-скользящего среднего. ряда а для некой разности , то процесс yt именуется встроенным, и модель (10.6) именуется авторегрессионной встроенной скользящего среднего моделью (АРИСС(p,s,q)-моделью).

Рассматривая (10.7) как разностное уравнение, разрешим его относительно yt, используя {et}-последовательность. Для АР(1) модели

такое представление получено в девятой главе

.

Для общих АРСС(p, q) моделей перепишем (10.7), используя оператор Процессы авторегрессии-скользящего среднего. L - оператор запаздывания (сдвига) на единицу:

L yt = yt-1; L yt-1 = yt-2 и т. д.

Получаем

. (10.8)

Отсюда получим формальное решение

. (10.9)

Можно обосновать, чтоб выражение (10.9) было, нужно, чтоб характеристические корешки многочлена ( ) размещались вне единичного круга.

Это и будут условия стойкости стохастического разностного уравнения (10.8). Будет также показано, что условия стойкости нужны Процессы авторегрессии-скользящего среднего. для стационарности временного ряда yt.

В экономике обычной является ситуация, когда доступна для наблюдения только одна реализация случайного процесса, а не огромное количество реализаций, другими словами мы имеем дело с единственным временным рядом, а не с обилием временных рядов, отражающих данный процесс за один и тот же просвет времени.

К счастью Процессы авторегрессии-скользящего среднего., если {yt} - стационарный ряд, то среднее, дисперсия и автокорреляция могут быть аппроксимированы довольно длинноватым усреднением по времени единственной серии реализаций. Это значит, что среднее и дисперсия процесса имеют одно и то же значение в каждый момент времени. Более строго стохастический процесс, имеющий конечные среднюю и дисперсию, ковариационно стационарный (стационарный Процессы авторегрессии-скользящего среднего. в слабеньком смысле) если для всех t и t-s

M(yt) = M(yt-s) = m, (10.10)

M[(yt - m)]2 = M[(yt-s-m)]2 = sy2, (10.11)

M[(yt - m)(yt-s - m)] = M[(yt-j-m)(yt-j-s-m)] = gs. (10.12)

Такие процессы в литературе также именуют стационарными второго порядка, а величины Процессы авторегрессии-скользящего среднего. gs именуют автоковариациями s-ого порядка.

Определим автокорреляции s-ого порядка меж ys и yt-s формулой

(10.13)

где gs и g0 определены в (10.12). Разумеется r0 = 1.


processi-upravleniya-resursami.html
processi-v-komplekse-goldzhi.html
processi-vtorichnoj-kristallizacii-v-metalle-shva-i-v-osnovnom-metalle.html